Astrobiology 天体生物学

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Helmholtz方程的推导基于波动方程，通过假设解具有分离变量的形式，将空间部分和时间部分分开。

波动方程的基本形式为：

\nabla^{2} u = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}

其中， $u$ 是场量， $v$ 是波速。

假设解可以表示为：

u (r, t) = A (r) T (t)

其中， $A (r)$ 是空间部分， $T (t)$ 是时间部分。

将分离变量形式的解代入波动方程：

\nabla^{2} (A (r) T (t)) = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (A (r) T (t))

化简后得到：

T (t) \cdot \nabla^{2} A (r) = \frac{A (r)}{v^{2}} \cdot T^{″} (t)

将两边同时除以 $A (r) T (t)$ ，得到：

\frac{\nabla^{2} A (r)}{A (r)} = \frac{1}{v^{2}} \frac{T^{″} (t)}{T (t)}

由于左边仅与空间变量相关，右边仅与时间变量相关，因此两边必须等于一个常数。设该常数为 $- k^{2}$ ，则：

\frac{\nabla^{2} A (r)}{A (r)} = - k^{2} 和 \frac{1}{v^{2}} \frac{T^{″} (t)}{T (t)} = - k^{2}

从空间部分的方程可以得到：

\nabla^{2} A (r) + k^{2} A (r) = 0

这即为Helmholtz方程，其中 $k$ 是波数，定义为 $k = \frac{ω}{v}$ ， $ω$ 是角频率。时间部分的方程为：

T^{″} (t) + k^{2} v^{2} T (t) = 0

其解为简谐函数，如：

T (t) = C \cos (k v t) + D \sin (k v t)

在电磁学中，对于时谐场，电场 $E$ 和磁场 $B$ 满足麦克斯韦方程组。假设时谐场形式：

E (r, t) = E_{0} (r) e^{- i ω t}, B (r, t) = B_{0} (r) e^{- i ω t}

代入麦克斯韦方程组后，可以推导出电场 $E_{0}$ 满足：

\nabla^{2} E_{0} + k^{2} E_{0} = 0

其中 $k = \frac{ω}{c}$ ， $c$ 是波速。

Helmholtz方程描述了波动方程在特定频率下的稳态空间分布，其推导基于波动方程和分离变量的假设。