勒让德多项式

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勒让德

阿德里安-马里·勒让德(Adrien-Marie Legendre), 1752年9月18日—1833年1月10日法国数学家。他的主要贡献在统计学、数论、抽象代数与数学分析，他是椭圆积分的莫基人之一。勒让德星(26950 Legendre)以他的名字命名。

勒让德方程为：

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} P_{l} (x)] + l (l + 1) P_{l} (x) = 0 . \end{matrix}

我们仅在区间 x∈[−1,1] 上考虑 l 为非负整数的情况方程的解 $P_{l} (x)$ 是关于 $x$ 的 $l$ 阶多项式

\begin{matrix} (2) & P_{l} (x) = \frac{1}{2^{l}} \sum_{s = 0}^{[l / 2]} \frac{(- 1)^{s} (2 l - 2 s)!}{s! (l - s)! (l - 2 s)!} x^{l - 2 s} \end{matrix}

其中 $[x]$ 是向下取整函数。当 $x$ 是整数， $[x] = x$ ，当 $x$ 是非整数， $[x]$ 是小于 $x$ 的最大整数。勒让德不等式的前几项如下：

\begin{aligned} P_{0} (x) = 1 & P_{3} (x) = \frac{1}{2} (5 x^{3} - 3 x) \\ P_{1} (x) = x & P_{4} (x) = \frac{1}{8} (35 x^{4} - 30 x^{2} + 3) \\ P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 x^{2} - 1) & P_{5} (x) = \frac{1}{8} (63 x^{5} - 70 x^{3} + 15 x) . \end{aligned}

勒让德多项式的归一化系数为

A_{l} = \sqrt{\frac{2 l + 1}{2}},

满足正交归一化条件

\int_{- 1}^{1} A_{l^{'}} P_{l^{'}} (x) \cdot A_{l} P_{l} (x) d x = δ_{l, l^{'}} .

所以勒让德多项式具有正交归一性，即

\int_{- 1}^{1} P_{n} (x) P_{m} (x) d x = \int_{0}^{π} P_{n} (\cos θ) P_{m} (\cos θ) \sin θ d θ = \frac{δ_{n m}}{n + 1 / 2}

将 $P_{l} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ 代入方程中，对比系数得到递推公式：

c_{n + 2} = \frac{n (n + 1) - l (l + 1)}{(n + 2) (n + 1)} c_{n} = \frac{(n - l) (n + 1 + l)}{(n + 2) (n + 1)} c_{n} .

可见偶数项系数可用 $c_{0}$ 表示，奇数项系数可用 $c_{1}$ 表示。所以 $c_{0}$ 和 $c_{1}$ 可以看做是二阶微分方程的两个任意常数。

当 $l$ 为整数时，可以证明 $n > l$ 以上的系数都为 $0$ ，令最高次项系数为 $c_{l} = \frac{(2 l)!}{2^{l} (l!)^{2}},$ 就可以得到式子(2)

定义距离球体球心 $r$ 处受到球体 $r^{^{'}}$ 处引力势 $Φ_{g} (r)$ ，其中 $r$ 指受力点距离行星质心的距离， $r^{^{'}}$ 指质量微元距离行星质心的距离，易得：

Φ (r) = - G \int \frac{ρ (r^{'})}{| r^{'} - r |} d^{3} r^{'}

此时，可方便地采用标准球面坐标 $r$ 、 $θ$ 、 $φ$ 沿 $Z$ 轴对齐。这些坐标与常规笛卡尔坐标的关系如下：

\begin{aligned} x = r \sin θ \cos ϕ \\ y = r \sin θ \sin ϕ \\ z = r \cos θ \end{aligned}

将 $r (x, y, z)$ 和 $r^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 代入式子，则一般轴对称质量分布的引力势 $Φ (r, θ)$ :

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} Φ (r, ϕ, θ) & = - G \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \frac{r^{' 2} ρ (r^{'}, θ^{'}) \sin θ^{'}}{| r - r^{'} |} d ϕ^{'} d θ^{'} d r^{'} \\ = - 2 π G \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{π} r^{' 2} ρ (r^{'}, θ^{'}) \sin θ^{'} ⟨ | r^{'} - r |^{- 1} ⟩ d θ^{'} d r^{'} \end{aligned} \end{matrix}

其中

\begin{aligned} ⟨ | r^{'} - r |^{- 1} ⟩ & = (r^{2} - 2 \vec{r} \cdot {\vec{r}}^{'} + r^{' 2})^{- 1} \\ = (r^{2} - 2 r \cdot r^{'} F + r^{' 2})^{- 1} (当 r ≫ r^{'} 时 ， 将 | r^{'} - r |^{- 1} 以 \frac{r^{'}}{r} 形 式 展 开) \\ = \frac{1}{r} [1 + (\frac{r^{'}}{r}) F + \frac{1}{2} {(\frac{r^{'}}{r})}^{2} (3 F^{2} - 1) + O {(\frac{r^{'}}{r})}^{3}] . \end{aligned}

让我们把这个表达式平均到方位角 $φ$ 上。因为 $⟨ 1 ⟩ = 1$ ， $⟨ c o s φ ⟩$ =0， $⟨ c o s \frac{φ}{2} ⟩$ =1/2，所以很容易看出

⟨ F ⟩ = c o s θ c o s θ^{'}

\begin{aligned} ⟨ F^{2} ⟩ & = \frac{1}{2} \sin^{2} θ \sin^{2} θ^{'} + \cos^{2} θ \cos^{2} θ^{'} \\ = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{3}{2} \cos^{2} θ - \frac{1}{2}) (\frac{3}{2} \cos^{2} θ^{'} - \frac{1}{2}) . \end{aligned}

因此

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ⟨ | r^{'} - r |^{- 1} ⟩ & = \frac{1}{r} [1 + (\frac{r^{'}}{r}) \cos θ \cos θ^{'} + {(\frac{r^{'}}{r})}^{2} (\frac{3}{2} \cos^{2} θ - \frac{1}{2}) (\frac{3}{2} \cos^{2} θ^{'} - \frac{1}{2}) + O {(\frac{r^{'}}{r})}^{3}] \\ = \frac{1}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{' n}}{r^{n}} P_{n} (c o s θ) P_{n} (c o s θ^{'}) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{' n}}{r^{n + 1}} P_{n} (c o s θ) P_{n} (c o s θ^{'}) \end{aligned} \end{matrix}

将式子(1)和式子(2)联合：

\begin{aligned} Φ (r, θ) = & \sum_{n = 0, \infty} Φ_{n} (r) P_{n} (\cos θ), \\ Φ_{n} (r) = & - \frac{2 π G}{r^{n + 1}} \int_{0}^{r} \int_{0}^{π} r^{' n + 2} ρ (r^{'}, θ^{'}) P_{n} (\cos θ^{'}) \sin θ^{'} d θ^{'} d r^{'} \\ - 2 π G r^{n} \int_{r}^{\infty} \int_{0}^{π} r^{' 1 - n} ρ (r^{'}, θ^{'}) P_{n} (\cos θ^{'}) \sin θ^{'} d θ^{'} d r^{'} . \end{aligned}