某点散度代表了该点向外的通量体密度，其物理意义可以理解为：定量给出向量场中任一点是否为源点或汇点。若某点散度等于0，则说明其通量为0，流进 $=$ 流出；若某点散度大于0，说明流出 $>$ 流进，相当于一个源点(source)；若某点散度小于0，说明流出 $<$ 流进，相当于一个汇点(sink)。

应用：流体力学中不可压缩条件为：速度场的散度为0。 推导: 不可压缩意味着密度为常数，根据欧拉描述下（基于场的描述）质量连续性方程：

\frac{d ρ}{d t} + ρ \vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0

由于密度为常数，因此其对时间的全导数应为0，即 $\frac{d ρ}{d t} = 0$ ，因此速度散度为0。

在三维直角坐标系中，散度计算公式为：

div F = \nabla \cdot F = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (F_{x}, F_{y}, F_{z}) = \frac{\partial F_{x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{z}}{\partial z} = \frac{\partial F_{i}}{\partial x_{i}} .

散度中有一个非常重要的定理，即散度定理(divergence theorem)，也叫高斯定理(Gauss's theorem)，应用极其广泛，其将面积分与体积分联系起来。关于散度定理的证明，由散度定义式易得。

\iint_{\partial V} F \cdot \hat{n} d S = ∭_{V} div F d V

3.旋度(Curl)

旋度与环量(circulation)联系紧密，其在流体力学中有着广泛的应用，其定义为：

(\nabla \times F) (p) \cdot \hat{n} \overset{def}{=} lim_{A \to 0} (\frac{1}{| A |} \oint_{C} F \cdot d r)

这个式子代表：矢量场 $F$ 在 $p$ 点的旋度与单位向量的点积等于以此单位向量为外法线的无穷小曲面的环量面密度。（注：用此定义从物理上理解非常困难，其物理解释见下文。）注意线积分方向为逆时针；若为顺时针，前面应该加上负号。即旋度逆时针方向为正，反之为负。

注意： 旋度方向是垂直于矢量场 $F$ 的，这在证明垂直时有妙用，比如证明SV波与SH波垂直，直接看一眼就行。

由上式可知，若旋度为0，则环量积分为0，这表明积分值与路径无关，这与自然界保守场的性质相同。同样的，若某场的线积分与路径无关，则其旋度为0。

在三维直角坐标系中，旋度的计算为：

\nabla \times F (x, y, z) = | \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{array} |

= (\frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}) \hat{k} = \frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}} ε_{i j k} {\vec{e}}_{k} .

4.拉普拉斯算子

拉普拉斯算子(Laplace operator)的构成为：先梯度再散度，即：

\nabla^{2} f = \nabla \cdot \nabla f = Δ f

要计算拉普拉斯某量的结果，分两种情况，标量与矢量；

1)对标量 $f$ ：

\begin{aligned} \nabla^{2} f = \nabla \cdot \nabla f & = \nabla \cdot (\frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k) \\ = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y}) + \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial f}{\partial z}) \\ = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{aligned}

例子：标量场 $f (x, y, z) = x y^{2} + z^{3}$ 的Laplacian是

\begin{aligned} \nabla^{2} f (x, y, z) & = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \\ = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (x y^{2} + z^{3}) + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} (x y^{2} + z^{3}) + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} (x y^{2} + z^{3}) \\ = \frac{\partial}{\partial x} (y^{2} + 0) + \frac{\partial}{\partial y} (2 x y + 0) + \frac{\partial}{\partial z} (0 + 3 z^{2}) \\ = 0 + 2 x + 6 z = 2 x + 6 z \end{aligned}

2)对矢量 $\vec{f}$ ：

只需要在各分量中进行拉普拉斯算子计算即可：

\nabla^{2} \vec{f} = (\nabla^{2} f_{x}, \nabla^{2} f_{y}, \nabla^{2} f_{z})

此外还有一个常用恒等式：

\nabla^{2} \vec{f} = \nabla (\nabla \cdot \vec{f}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{f})

例子：矢量场 $F (x, y, z) = 3 z^{2} \vec{i} + x y z \vec{j} + x^{2} z^{2} \vec{k}$ 的Laplacian是 :

\nabla^{2} F (x, y, z) = \nabla^{2} (3 z^{2}) i + \nabla^{2} (x y z) j + \nabla^{2} (x^{2} z^{2}) k

\begin{aligned} \nabla^{2} (3 z^{2}) & = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (3 z^{2}) + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} (3 z^{2}) + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} (3 z^{2}) = 0 + 0 + 6 = 6 \\ \nabla^{2} (x y z) & = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (x y z) + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} (x y z) + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} (x y z) = 0 + 0 + 0 = 0 \\ \nabla^{2} (x^{2} z^{2}) & = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} (x^{2} z^{2}) + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} (x^{2} z^{2}) + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} (x^{2} z^{2}) = 2 z^{2} + 0 + 2 x^{2} \end{aligned}

\nabla^{2} F = 6 i + 0 j + (2 z^{2} + 2 x^{2}) k = 6 i + 2 (x^{2} + z^{2}) k

5.矢量分析常用恒等式

$\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla^{2} F$
$\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0, \nabla \times (\nabla φ) = 0$
$\nabla \times (φ F) = \nabla φ \times F + φ \nabla \times F$
$\nabla \cdot (φ F) = (\nabla φ) \cdot F + φ (\nabla \cdot F)$
$\nabla \cdot (F \times G) = (\nabla \times F) \cdot G - F \cdot (\nabla \times G)$
$\nabla \times (v \times F) = ((\nabla \cdot F) + F \cdot \nabla) v - ((\nabla \cdot v) + v \cdot \nabla) F$
$\vec{a} \times \vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b})$
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$
$(\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} = \vec{c} \cdot (\vec{a} \otimes \vec{b})$
兰姆矢量： $(\nabla \times \vec{v}) \times \vec{v} = \vec{v} \cdot \nabla \otimes \vec{v} - \nabla (\frac{1}{2} {\vec{v}}^{2})$
Helmholtz Decomposition： $F = \nabla Φ + \nabla \times A$