随机变量及其概率分布

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2.1 随机变量的概念

随机变量（Random variable）： 值随机会而定的变量，研究随机试验的一串事件。可按维数分为一维、二维至多维随机变量。按性质可分为离散型随机变量以及连续型随机变量。
**分布（Distribution）：**事件之间的联系，用来计算概率。
示性函数（Indication function）：
$I_{A} (ω) = {\begin{cases} 1 & ω \in A \\ 0 & 反之 \end{cases}$ ，事件 $A$ 有随机变量 $I_{A}$ 表示出来， $I_{A}$ 称为事件 $A$ 的示性函数。

1.离散型随机变量：设 $X$ 为一随机变量，如果 $X$ 只取有限个或可数个值，则称 $X$ 为一个（一维）离散型随机变量。 2.概率函数：设 $X$ 为一随机变量，其全部可能值为 ${a_{1}, a_{2}, . . .}$ ，则 $p_{i} = P (X = a_{i}), i = 1, 2, . . .$ 称为 $X$ 的概率函数。 3.概率分布：离散型随机变量的概率分布可以用分布表来表示：

可能值	$a_{1}$	$a_{2}$	...	$a_{i}$	...
概率	$p_{1}$	$p_{2}$	...	$p_{i}$	...

4.概率分布函数：

定义:设 $X$ 为一随机变量，则函数

F (X) = P (X \leq x) (- \infty < x < \infty)

称为 $X$ 的分布函数。（注：这里并未限定 $X$ 为离散型的，它对任何随机变量都有定义。）

性质： $0 \leq F (x) \leq 1 (- \infty \leq x \leq + \infty), F (x) 是 x 的右连续函数$ $F (x) 是单调非降的：当$ $x_{1} < x_{2}$ 时，有 $F (x_{1}) \leq F (X_{2})$ . 当 $x \to \infty$ 时， $F (x) \to 1$ ；当 $x \to - \infty$ 时， $F (x) \to 0$ .

离散型随机变量分布函数：

对于离散型随机变量， $F (X) = P (X \leq x) = \sum_{{i | a_{i} \leq x}} p_{i}, p_{i} = P (X = i) = F (i) - F (i - 1)$ 。

二项分布（Bionomial distribution）：

定义:设某事件 $A$ 在一次试验中发生的概率为 $p$ ，先把试验独立地重复n次，以 $X$ 记 $A$ 在这n次试验中发生的次数，则 $X$ 取值 $0, 1, . . ., n$ ，且有

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}, k = 0, 1, . . ., n

称 $X$ 服从二项分布，记为 $X \sim B (n, p)$ .

服从二项分布的条件:1. 各次试验的条件是稳定的，即事件 $A$ 的概率 $p$ 在各次试验中保持不变；2. 各次试验的独立性

泊松分布（Poisson distribution）：

定义：设随机变量 $X$ 的概率分布为

P (X = i) = \frac{λ^{i}}{i!} e^{- λ}, i = 0, 1, 2, . . ., λ > 0

则称 $X$ 服从参数为 $λ$ 的Poisson分布，并记 $X \sim P (λ)$ .

特点:：

描述稀有事件发生概率
作为二项分布的近似。若 $X \sim B (n, p)$ ，其中 $n$ 很大， $p$ 很小，而 $n p = λ$ 不太大时（一般 $n > 30, n p \leq 5$ ），则 $X$ 的分布接近泊松分布 $P (λ)$ .

推导：若事件 $A \sim B (n, p)$ ，且 $n$ 很大， $p$ 很小，而 $n p = λ$ 不太大时，设 $λ = n p$ ，

\begin{aligned} P (X = i) & = lim_{n \to \infty} (\binom{n}{i}) (\frac{λ}{n})^{i} (1 - \frac{λ}{n})^{n - i} \\ = λ^{i} lim_{n \to \infty} \frac{(\binom{n}{i})}{n^{i}} lim_{n \to \infty} (1 - \frac{λ}{n})^{n - i} \\ = λ^{i} e^{- λ} lim_{n \to \infty} \frac{n (n - 1) (n - 2) . . . (n - i + 1)}{i! n^{i}} \\ = λ^{i} e^{- λ} lim_{n \to \infty} \frac{(1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) . . . (1 - \frac{i - 1}{n})}{i!} \\ = \frac{λ^{i}}{i!} e^{- λ} \end{aligned}

2.3 连续型随机变量及其分布

1.连续型随机变量：设 $X$ 为一随机变量，如果 $X$ 不仅有无限个而且有不可数个值，则称 $X$ 为一个连续型随机变量。

2.概率密度函数：定义:

设连续型随机变量 $X$ 有概率分布函数 $F (x)$ ，则 $F (x)$ 的导数 $f (x) = F^{'} (x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数。

性质：

对于所有的 $- \infty < x < + \infty$ ，有 $f (x) \geq 0$ ； $\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1$ ；
对于任意的 $- \infty < a \leq b < + \infty$ ，有 $P (a \leq X \leq b) = F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

注：对于任意的 $- \infty < x < + \infty$ ，有 $P (X = x) = \int_{x}^{x} f (u) d u = 0$ . 假设有总共一个单位的质量连续地分布在 $a \leq x \leq b$ 上，那么 $f (x)$ 表示在点 $x$ 的质量密度且 $\int_{c}^{d} f (x) d x$ 表示在区间 $[c, d]$ 上的全部质量。

3.概率分布函数:设 $X$ 为一连续型随机变量，则

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (u) d u, - \infty < x < + \infty

**正态分布（Normal distribution）：**

定义:如果一个随机变量具有概率密度函数

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}, - \infty < x < + \infty

其中 $- \infty < μ < + \infty, σ^{2} > 0$ ，则称 $X$ 为正态随机变量，并记为 $X \sim N (μ, σ^{2})$ .特别地， $μ = 0, σ = 1$ 的正态分布成为标准正态分布。用 $Φ (x)$ 和 $ϕ (x)$ 表示标准正态分布 $N (0, 1)$ 的分布函数和密度函数。

性质： 正态分布的密度函数是以 $x = μ$ 为对称轴的对称函数， $μ$ 称为位置参数，密度函数在 $x = μ$ 处达到最大值，在 $(- \infty, μ)$ 和 $(μ, + \infty)$ 内严格单调。 $σ$ 的大小决定了密度函数的陡峭程度，通常称 $σ$ 为正态分布的形状参数。若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $Y = (X - μ) / σ \sim N (0, 1)$ . $Φ (- k) = 1 - Φ (k)$

图像（密度和分布函数图）：

**指数分布（Exponential distribution）：**

定义 : 若随机变量 $X$ 具有概率密度函数

f (x) = {\begin{cases} λ e^{- λ x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases} = λ e^{- λ x} I_{(0, \infty)} (x)

其中 $λ > 0$ 为常数，则称 $X$ 服从参数为 $λ$ 的指数分布。

概率分布函数：

F (x) = {\begin{cases} 1 - e^{- λ x} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases} = (1 - e^{- λ x}) I_{(0, \infty)} (x)

性质：

无后效性，即无老化，要来描述寿命（如元件等）的分布。

证明： “无老化”就是说在时刻 $x$ 正常工作的条件下，其失效率总保持为某个常数 $λ > 0$ ，与 $x$ 无关，可表示

\begin{aligned} P (x \leq X \leq x + h | X > x) / h = λ (h \to 0) \\ 证 ： \\ lim_{h \to 0} \frac{P (x \leq X \leq x + h | X > x)}{h} \\ = & lim_{h \to 0} \frac{P (x \leq X \leq x + h, X > x)}{P (X > x) h} \\ = & lim_{h \to 0} \frac{P (x < X \leq x + h)}{P (X > x) h} \\ = & lim_{h \to 0} \frac{- e^{- λ t} |_{x}^{x + h}}{- e^{- λ t} |_{x}^{\infty} h} \\ = & lim_{h \to 0} \frac{e^{- λ x} - e^{- λ x - λ h}}{e^{- λ x} h} \\ = & lim_{h \to 0} \frac{1 - \frac{1}{e^{x h}}}{h} \\ = & lim_{h \to 0} λ e^{- λ h} \\ = & λ \end{aligned}

$λ$ 为失效率，失效率越高，平均寿命就越小。

图像（密度函数）：

**均匀分布（Uniform distribution）：**

定义:设 $a < b$ ，如果分布 $F (x)$ 具有密度函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 0 & 其 它 \end{cases} = \frac{1}{b - a} I_{(a, b)} (x)

则该分布为区间 $[a, b]$ 上的均匀分布。

概率分布函数:

F (x) = {\begin{cases} 0 & x \leq a \\ \frac{x - a}{b - a} & a < x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases}

性质： $\forall R (c, d) \subset R (a, b), P (c < X < d) = \frac{d - c}{b - a}$

2.4 多维随机变量（随机向量）

1.随机向量：

设 $X = {X_{1}, . . ., X_{n}}$ .如果每个 $X_{i}$ 都是一个随机变量， $i = 1, . . ., n$ ，则称 $X$ 为 $n$ 维随机变量或者随机向量。

2.离散型随机向量的分布：

如果每一个 $X_{i}$ 都是一个离散型随机变量， $i = 1, . . ., n$ ，则称 $X = {X_{1}, . . ., X_{n}}$ 为一 $n$ 维离散型随机变量。设 $X_{i}$ 的所有可能取值为 ${a_{i 1}, a i 2, . . .}, i = 1, . . ., n$ ，则称

p (j_{1}, . . ., j_{n}) = P (X_{1} = a_{1 j_{1}}, . . ., X_{n} = a_{n j_{n}}), j_{1}, . . ., j_{n} = 1, 2, . . .

为 $n$ 维随机变量 $X$ 的概率函数，这也是其联合分布。其具有下列性质

$p (j_{1}, . . ., j_{n}) \geq 0, j_{i} = 1, 2, . . ., i = 1, 2, . . ., n;$
$\sum_{j_{1}, . . ., j_{n}} p (j_{1}, . . ., j_{n}) = 1.$

注：对于高维离散型随机变量，一般不使用分布函数

3.多项式分布

定义：设 $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ 是某一试验之下的完备事件群，分别以 $p_{1}, p_{2}, . . ., p_{n}$ 记事件 $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ 的概率，则 $p_{i} \geq 0, p_{1} + . . . + p_{n} = 1$ .将试验独立地重复 $N$ 次，以 $X_{i}$ 记在这 $N$ 次试验中事件 $A_{i}$ 出现的次数 $(i = 1, . . ., n)$ ，则 $X = (X_{1}, . . ., X_{n})$ 为一个 $n$ 维随机向量。该分布记作 $M (N; p_{1}, . . ., p_{n})$ .

概率分布函数： $P (X_{1} = k_{1}, X_{2} = k_{2}, . . ., X_{n} = k_{n}) = \frac{N!}{k_{1}! k_{2}! . . . k_{n}!} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} . . . . p_{n}^{k_{n}}$

三项分布

4.连续型随机向量的分布：

$X = {X_{1}, . . ., X_{n}}$ 为 $n$ 维连续型随机变量，如果存在 $\R^{n}$ 上的非负函数 $f (x_{1}, . . ., x_{n})$ ，使得对任意的 $- \infty < a_{1} \leq b_{1} < + \infty, . . ., - \infty < a_{n} \leq b_{n} < + \infty$ ，有

P (a_{1} \leq X_{1} \leq b_{1}, . . ., a_{n} \leq X_{n} \leq b_{n}) = \int_{a_{n}}^{b_{n}} . . . \int_{a_{1}}^{b_{1}} f (x_{1}, . . ., x_{n}) d x_{1} . . . d x_{n}

则称 $f$ 为 $X$ 的概率密度函数，也称 $f (x_{1}, . . ., x_{n})$ 为 $(X_{1}, . . ., X_{n})$ 的联合分布密度 (简称联合密度).有

P (a_{1} \leq X_{1} \leq b_{1}, . . ., a_{n} \leq X_{n} \leq b_{n}) = F (x_{1}, . . ., x_{n})

则称为 $F$ 为 $X$ 的（联合）分布函数。其中分布函数 $F (X_{1}, . . ., X_{n})$ 具有下述性质：

$F (x_{1}, . . ., x_{n})$ 单调非降；
对任意的 $1 \leq j \leq n$ ，有 $lim_{x_{j} \to - \infty F (x_{1}, . . ., x_{n})} = 0$ ；
$lim_{x_{1} \to \infty, . . ., x_{n} \to \infty} F (x_{1}, . . ., x_{n}) = 1$

连续型随机向量属于更一般的平面子集D的概率为

P ((X_{1}, . . ., X_{n}) \in D) = \int_{a_{n}}^{b_{n}} . . . \int_{a_{1}}^{b_{1}} f (x_{1}, . . ., x_{n}) d x_{1} . . . d x_{n}

集合 $D$ 的要求涉及到勒贝格积分，这里不做讨论。一般的开集、并集及其有限运算都符合条件。

联合密度不是概率，其在平面点(x,y)的小邻域的积分才是概率；
类似于物理学中质量面密度的概念；
p(x, y) 是一个全平面上有定义的二元非负函数。实际中使用的二元密度一般在全平面连续，或者除去个别几条线之后是连续的。
(1.6) 中的集合 D 可以是全平面，所以 ∞ −∞ ∞ −∞ p(x, y)dxdy = 1
概率的计算转化为二重积分，P((X,Y)∈D) 的概率是以D为底面、以密度函数曲面为顶面的曲顶柱体的体积。

5.边缘分布：

因为 $X$ 的每个分量 $X_{i}$ 都是一维随机变量，故它们都有各自的分布 $F_{i} (i = 1, . . ., n)$ ，这些都是一维分布，称为随机向量 $X$ 或其分布 $F$ 的边缘分布。

离散型随机向量 行和与列和就是边缘分布。即固定某个 $x_{i}$ ，即可计算边缘分布，故有

\begin{array}{r} p_{X} (x_{i}) = P (X = x_{i}) = \sum_{j}^{m} P (X = x_{i}, Y = y_{j}) = \sum_{j}^{m} p_{i j} = p_{i \cdot}, i = 1, 2, . . ., n \\ p_{Y} (y_{i}) = P (Y = y_{i}) = \sum_{i}^{m} P (X = x_{i}, Y = y_{j}) = \sum_{i}^{m} p_{i j} = p_{j \cdot}, j = 1, 2, . . ., n \end{array}

连续型随机向量

为求某分量 $X_{i}$ 的概率密度函数，只需把 $f (x_{1}, . . ., x_{n})$ 中的 $x_{i}$ 固定，然后对 $x_{1}, . . ., x_{i - 1}, x_{i + 1}, . . ., x_{n}$ 在 $- \infty$ 到 $\infty$ 之间做定积分，如

(X, Y) \sim f (x, y) f_{X} (u) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (u, v) d v f_{Y} (u) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (u, v) d u

注：二维正态分布 $N (a, b, σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, ρ)$ 的边缘分布密度分别是一维正态分布 $N (a, σ_{1}^{2})$ 和 $N (b, σ_{2}^{2})$ 。因此联合分布可推边缘分布，而边缘分布不可推联合分布

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2.5 随机变量的独立性

称随机变量 $X_{1}, . . ., X_{n}$ 相互独立，

离散型随机变量

则联合分布律等于各自的边缘分布律的乘积，即

P (X_{1} = x_{1}, . . ., X_{n} = x_{n}) = P (X_{1} = x_{1}) . . . P (X_{n} = x_{n})

其中 $(x_{1}, . . . x_{n})$ 为 $(X_{1}, . . ., X_{n})$ 的值域中的任意一点。

连续型随机变量

则联合密度等于各自的边缘密度的乘积，即

f (x_{1}, . . ., x_{n}) = f_{1} (x_{1}) . . . f_{n} (x_{n}), \forall (x_{1}, . . ., x_{n}) \in R^{n}

更具一般地

设 $X_{1}, . . ., X_{n}$ 为 $n$ 个随机变量，如果它们的联合分布函数等于各自边缘分布函数的乘积，即

F (X_{1}, . . ., x_{n}) = F_{1} (x_{1}) . . . F_{n} (x_{n}), \forall (x_{1}, . . ., x_{n}) \in R^{n}

则称随机变量 $X_{1}, . . ., X_{n}$ 相互独立。

一些重要的结论

## 2.6 随机变量的条件分布

1. 离散型随机变量的条件分布：

设 $(X, Y)$ 为二维离散型随机变量，对于给定的事件 ${Y = y_{j}}$ ，其概率 $P (Y = y_{j}) > 0$ ，则称

P (X = x_{i} | Y = y_{j}) = \frac{P (X = x_{i}, Y = y_{j})}{P (Y = y_{j})} = \frac{p_{i j}}{p_{\cdot j}}, i = 1, 2, . . .

为在给定 $Y = y_{j}$ 的条件下 $X$ 的条件分布律。类似的，称

P (Y = y_{i} | X = x_{j}) = \frac{P (X = x_{i}, Y = y_{j})}{P (X = x_{j})} = \frac{p_{i j}}{p_{i \cdot}}, j = 1, 2, . . .

为在给定 $X = x_{j}$ 的条件下 $Y$ 的条件分布律。

2. 连续型随机变量的条件分布：

设 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，对于给定条件 $Y = y$ 下的条件概率密度为

f_{X | Y} (x | y) = \frac{f (x, y)}{f_{Y} (y)}, f_{Y} (y) > 0.

类似的，在 $X = x$ 下的条件概率密度为

f_{Y | X} (y | x) = \frac{f (x, y)}{f_{X} (x)}, f_{X} (x) > 0.

二维正态分布 $ρ = 0$ 时，其联合密度分布等于条件密度分布的乘积。

2.6 随机变量函数的概率分布

最简单的情形，是由一维随机变量 $X$ 的概率分布去求其一给定函数 $Y = g (X)$ 的分布。较为常见的，是由 $(X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n})$ 的分布去求 $Y = g (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n})$ 的分布。更一般地，由 $(X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n})$ 的分布去求 $(Y_{1}, Y_{2}, . . ., Y_{m})$ 的分布，其中 $Y_{i} = g_{i} (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}), i = 1, 2, . . ., m$ .

1.离散型分布的情形：设 $X$ 的分布律为 $P (X = x_{i}) = p_{i}, i = 1, 2, . . .$

$g : R \to R$ ，令 $Y = g (X)$ ，则 $Y$ 的分布律为

P (Y = y_{j}) = P (g (X) = y_{j}) = \sum_{x_{i} : g (x_{i}) = y_{j}} P (X = x_{i}) = \sum_{i : g (x_{i}) = y_{j}} p_{i}

即把 $Y = g (X_{1}, . . ., X_{n})$ 可以取的不同值找出来，把与某个值相应的全部 $(X_{1}, . . ., X_{n})$ 值的概率加起来，即得 $Y$ 取这个值的概率。

2.连续型分布的情形

一个变量的情况

设 $X$ 有密度函数 $f (x)$ .设 $Y = g (x)$ ， $g$ 是一个严格单调的函数，即当 $x_{1} < x_{2}$ 时，必有 $g (x_{1}) < g (x_{2})$ 或当 $x_{1} > x_{2}$ 时，必有 $g (x_{1}) > g (x_{2})$ .又设 $g$ 的导数 $g^{'}$ 存在。由于 $g$ 的严格单调性，其反函数 $X = h (Y)$ 存在，且 $h$ 的导数 $h^{'}$ 也存在。有 $g (X)$ 的密度函数 $l (y)$ 为

l (y) = f (h (y)) | h^{'} (y) | .

$g (x)$ 严格单调是一个苛刻的条件，许多常见的函数无法满足，此时只好直接去求所要的分布函数，不要考虑反函数。

多个变量的情形

以两个为例，设 $(X_{1}, X_{2})$ 的密度函数 $f (x_{1}, x_{2})$ ， $Y_{1}, Y_{2}$ 都是 $(X_{1}, X_{2})$ 的函数：

Y_{1} = g_{1} (X_{1}, X_{2}), Y_{2} = g_{2} (X_{1}, X_{2}),

要求 $(Y_{1}, Y_{2})$ 的概率密度函数 $l (y_{1}, y_{2})$ .假定 $(X_{1}, X_{2})$ 到 $(Y_{1}, Y_{2})$ 的一一对应变换有逆变换：

X_{1} = h_{1} (Y_{1}, Y_{2}), X_{2} = h_{2} (Y_{1}, Y_{2})

即雅可比行列式

J (y_{1}, y_{2}) = | \begin{matrix} \partial h_{1} / \partial y_{1} & \partial h_{1} / \partial y_{2} \\ \partial h_{2} / \partial y_{1} & \partial h_{2} / \partial y_{2} \end{matrix} |

不为0.在 $(Y 1, Y 2)$ 的平面上任取一个区域 $A$ ，变换后到 $(X_{1}, X_{2})$ 平面的区域 $B$ ，则有

P ((Y_{1}, Y_{2}) \in A) = P ((X_{1}, X_{2}) \in B) = \iint_{B} f (x_{1}, x_{2}) d x_{1} d x_{2} P ((Y_{1}, Y_{2}) \in A) = \iint_{A} f (h_{1} (y_{1}, y_{2}), h_{2} (y_{1}, y_{2})) | J (y_{1}, y_{2}) | d y_{1} d y_{2}

随机变量和的密度函数

设 $(X_{1}, X_{2})$ 的联合密度函数为 $f (x_{1}, x_{2})$ ， $Y = X_{1} + X_{2}$ 的密度函数：

一般的， $l (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x_{1}, y - x_{1}) d x_{1} = \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y - x) d x$ . 若 $X_{1}, X_{2}$ 独立，则 $l (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (x) f_{2} (y - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (y - x) f_{2} (x) d x$ .

两个独立的正态变量的和仍服从正态分布，且有关的参数相加，其逆命题也成立。

随机变量商的密度函数 设 $(X_{1}, X_{2})$ 的联合密度函数为 $f (x_{1}, x_{2})$ ， $Y = X_{1} / X_{2}$ 的密度函数：

一般的， $l (y) = \int_{0}^{\infty} x_{1} f (x_{1}, x_{1} y) d x_{1}$ . 若 $X_{1}, X_{2}$ 独立，则 $l (y) = \int_{0}^{\infty} x_{1} f_{1} (x_{1}) f_{2} (x_{1} y) d x_{1}$ .

统计学三大分布

引入两个重要的特殊函数：

$Γ (x) = \int_{0}^{\infty} e^{- t} t^{x - 1} d t (x > 0)$ 和 $B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t (x > 0, y > 0)$

其中， $Γ (1) = 1, Γ (1 / 2) = \sqrt{π}, Γ (n) = (n - 1)!$
$B (x, y) = Γ (x) Γ (y) / Γ (x + y)$

卡方分布，记作 $χ_{n}^{2}$

密度函数 $: k_{n} (x) = \frac{1}{Γ (\frac{n}{2} 2^{n / 2})} e^{- x / 2} x^{(n - 2) / 2} I_{(0, \infty)} (x)$

性质:1. 设 $X_{1}, X_{2}$ 独立， $X_{1} \sim χ_{m}^{2}, X_{2} \sim χ_{n}^{2}$ ，则 $X_{1} + X_{2} \sim χ_{m + n}^{2}$

2. 若 $X_{1}, . . ., X_{n}$ 独立，且都服从指数分布，则 $X = 2 λ (X_{1} + . . . + X_{n}) \sim χ_{2 n}^{2}$

$t$ 分布，记作 $t_{n}$

设 $X_{1} ， X_{2}$ 独立， $X_{1} \sim χ_{n}^{2}, X_{2} \sim N (0, 1)$ ，而 $Y = X_{2} / \sqrt{X_{1} / n}$ ，则 $Y \sim t_{n}$ .

密度函数: $t_{n} (y) = \frac{Γ ((n + 1) / 2)}{\sqrt{n π} Γ (n / 2)} (1 + \frac{y^{2}}{n})^{(\frac{n + 1}{2})}$

性质:密度函数关于原点对称，其图形与正态分布 $N (0, 1)$ 的密度函数的图形相似。

$F$ 分布，记作 $F_{m n}$

设 $X_{1}, X_{2}$ 独立， $X_{1} \sim χ_{n}^{2}, X_{2} \sim χ_{m}^{2}$ ，而 $Y = m^{- 1} X_{2} / (n^{- 1} X_{1})$ ，则 $Y \sim F_{m n}$

密度函数： $f_{m n} (y) = m^{m / 2} n^{n / 2} \frac{Γ (\frac{m + n}{2})}{Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2})} y^{m / 2 - 1} (m y + n)^{- (m + n) / 2} (y > 0)$

三大分布的几个重要性质

设 $X_{1}, . . ., X_{n}$ 独立同分布，有公共的正态分布 $N (μ, σ^{2})$ .记 $\bar{X} = (X_{1} + . . . + X_{n}), S^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{(} X))^{2} / (n - 1)$ .则 $(n - 1) S^{2} / σ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2} / σ^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}$ .
设 $X_{1}, . . ., X_{n}$ 的假定同1，则 $\sqrt{n} (\bar{X} - μ) / S \sim t_{n - 1}$
设 $X_{1}, . . ., X_{n}, Y_{1}, . . ., Y_{m}$ 独立， $X_{i}$ 各有分布 $N (μ 1, σ_{1}^{2})$ ， $Y_{j}$ 各有分布 $N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，则
$[\sum_{j = 1}^{m} (Y_{j} - \bar{Y})^{2} / (σ_{2}^{2} (m - 1))] / [\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2} / (σ_{1}^{2} (n - 1))] \sim F_{m - 1, n - 1}$
若 $σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}$ ，则
$\sqrt{\frac{n m (n + m - 2)}{n + m}} [(\bar{X} - \bar{Y}) - (μ_{1} - μ_{2})] / [\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2} + \sum_{j = 1}^{m} (Y_{j} - \bar{Y})^{2}]^{1 / 2} \sim t_{n + m - 2}$