随机变量的数字特征

3.1 数学期望（均值）与中位数

1. 数学期望

定义：设随机变量$X$只取有限个可能值$a_1,...,a_m$，其概率分布为$P(X=a_i)=p_i(i=1,...,m)$.则$X$的数学期望记作$E(X{)}^{\ast }$或$E(X)$，定义为$E(X)=a_1{p}_1+a_2{p}_2+...+a_m{p}_m$.数学期望也常称为”均值“，即指以概率为权的加权平均。

• 离散型变量的数学期望：$E(X)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{p}_i.$（当级数绝对收敛，即$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|a_i|p_i<\mathrm{\infty }$）
• 连续型变量的数学期望：$E(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}xf(x)dx$.（当${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|x|f(x)dx<\mathrm{\infty }$）

常见分布的数学期望：

• 泊松分布：$E(X)=\lambda$.
• 二项分布：$E(X)=np$.
• 均匀分布：$E(X)=\frac{1}{2}(a+b)$.
• 指数分布：$E(X)={\lambda }^{-1}$.
• 正态分布：$E(X)=\mu$.
• 卡方分布：$E(X)=n$.
• $t$分布：$E(X)=0(n>1)$.
• $F$分布：$E(X)=n/(n-2)(n>2)$.

期望的简单性质

• 若干个随机变量之和的期望等于各变量的期望值和，即

• 若干个独立随机变量之积的期望等于各变量的期望之积，即

• 若$c$为常数，则$E(cX)=cE(X)$.

随机变量函数的期望公式

• 设随机变量$X$为离散型，有分布$P(X=a_i)=p_i(i=1,2,...)$；或者随机变量为连续型，有概率密度函数$f(x)$.则

2. 条件数学期望

定义： 随机变量Y的条件期望就是它在给定的某种附加条件下的数学期望。

P(t_1\leq X_1+...+X_n\leq t_2)\approx \Phi(y_2)-\Phi(y_1),

若把$y_1,y_2$修正为

$$\begin{gathered} y_1=(t_1-\frac{1}{2}-np)/\sqrt{np(1-p)}, \\ {y}_2=(t_2-\frac{1}{2}-np)/\sqrt{np(1-p)} \end{gathered}$$