其中，椭圆度 $ϵ$ 的定义为 $(R_{e} - R_{p}) / R$ ,则 $R_{e} = R (1 + ϵ / 3)$ , $R_{e} = R (1 - 2 ϵ / 3)$ 。而 $P_{2} (\cos θ)$ 是二阶勒让德多项式级数，即 $P_{2} (x) = \frac{1}{2} (3 c o s θ^{2} - 1)$ 。

现在，根据公式（1），所产生的引力势为

\begin{aligned} Φ (r, θ) & = \frac{G M}{r} \sum_{n = 0, \infty} J_{n} {(\frac{R}{r})}^{n} P_{n} (\cos θ) \\ = \frac{G M}{R} \sum_{n = 0, \infty} J_{n} {(\frac{R}{r})}^{n + 1} P_{n} (\cos θ) \end{aligned}

其中，

\begin{aligned} J_{n} & = - \frac{2 π R^{3}}{M} \int \int {(\frac{r}{R})}^{2 + n} ρ (r, θ) P_{n} (\cos θ) \sin θ d θ \frac{d r}{R} . \\ = - \frac{3}{2} \int_{0}^{π} P_{n} (\cos θ) \int_{0}^{R_{θ} (θ)} \frac{r^{2 + n} d r}{R^{3 + n}} \sin θ d θ . 代 入 M = (4 π / 3) γ R^{3} \\ = - \frac{3}{2 (3 + n)} \int_{0}^{π} P_{n} (\cos θ) {[\frac{(R_{θ} (θ)}{R}]}^{3 + n} \sin θ d θ \\ = - \frac{3}{2 (3 + n)} \int_{0}^{π} P_{n} (\cos θ) {(1 - \frac{2}{3} ϵ P_{2} (\cos θ))}^{3 + n} \sin θ d θ 当 ϵ 很 小 时, (1 - x)^{n} = 1 - n x \\ ≃ - \frac{3}{2 (3 + n)} \int_{0}^{π} P_{n} (\cos θ) [P_{0} (\cos θ) - \frac{2}{3} (3 + n) ϵ P_{2} (\cos θ)] \sin θ d θ \end{aligned}

因此，由勒让德多项式的正交归一性知,在一阶的情况下，不为 $0$ 的 $J_{n}$ 为：

J_{0} = - 1; J_{2} = \frac{2}{5} ϵ

因此重力势可以写为：

\begin{aligned} Φ (r, θ) & = - \frac{G M}{r} + J_{2} \frac{G M R^{2}}{r^{3}} P_{2} (\cos θ) + O (ϵ^{2}) . \\ = - \frac{G M}{r} + \frac{2}{5} ϵ \frac{G M R^{2}}{r^{3}} P_{2} (\cos θ) + O (ϵ^{2}) \end{aligned}

3.行星旋转的离心势一般形式

非惯性参考系——旋转参考系

\frac{d r}{d t} = \frac{d r}{d t^{'}} + Ω \times r o r \frac{d}{d t} = \frac{d}{d t^{'}} + Ω \times

v = v^{'} + Ω \times r,

\begin{aligned} a & = (\frac{d}{d t^{'}} + Ω \times) (v^{'} + Ω \times r) \\ = a^{'} + Ω \times (Ω \times r) + 2 Ω \times v^{'} 其 中 a^{'} = d^{2} r / d t^{' 2} \end{aligned}

行星的旋转压平

考虑一个由不可压缩流体组成的自重力天体的平衡构型，该天体围绕通过其质量中心的某个固定轴线稳定而均匀地旋转。假设天体外部边界为椭球面。假设 $M$ 是天体总质量， $R$ 是天体平均半径， $ε$ 是天体的椭圆度， $Ω$ 是天体角旋转速度。最假设物体的旋转轴与其对称轴重合，沿 Z 轴运行。

让我们转换到一个非惯性参照系，该参照系与身体绕 Z 轴共转，因此身体看起来是静止的。根据第 5.3 节，现在的问题类似于非旋转体的问题，只是加速度可以写成 g = gg + gc，其中 gg = -∇Φ(r,θ) 是重力加速度，gc 是离心加速度，Φ 是重力势能。离心加速度的大小为 r sinθΩ2，其方向远离旋转轴（见第 5.2 节）。(参见第 5.2 节。）这里，r 和 θ 是球面坐标，其原点是物体的几何中心，对称轴与旋转轴重合。因此离心加速度为

转动惯量和分层模型

一旦我们从J2的测量得到转动惯量C(或者平均值I),我们可以用2层模型来估计核幔边界

\begin{aligned} I \equiv \frac{C + A + B}{3} & = \frac{1}{3} \int d V^{'} ρ (r^{'}) (x^{2} + y^{2} + x^{2} + z^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ = \frac{1}{3} \int d V^{'} ρ (r^{'}) 2 r^{' 2} \\ = \frac{1}{3} \int_{0}^{R} 4 π r^{' 2} d r^{'} ρ (r^{'}) 2 r^{' 2} \\ = \frac{2}{3} \int_{0}^{R} 4 π r^{' 4} d r^{'} ρ (r^{'}) \end{aligned}

潮汐作用

1.潮汐力和潮汐隆起

潮汐力

考虑一个半径为 $R$ 的近球形天体，其中心位于坐标原点，受到 $r_{0}$ 处一个质量为 $m$ 的质点的引力， $r_{0} ≫ R$ 。在 $r = (x, y, z)$ 处，单位质量所受的潮汐力(即比潮汐力) 是质点 $m$ 在 $r$ 处的拉力和在原点处拉力之差，即

F_{T} (r) = \frac{G m}{∣ r_{0} - r ∣^{3}} (r_{0} - r) - \frac{G m}{r_{0}^{3}} r_{0}

对于位于天体中心到质点连线(取这条连线为x轴)上的点,上式可以简化为：

F_{T} (r) = \frac{G m}{(x_{0} - x)^{2}} - \frac{G m}{{x_{0}}^{2}} \approx \frac{2 x G m}{{x_{0}}^{3}}

一阶泰勒展开化简： \frac{1}{(x_{0} - x)^{2}} = \frac{1}{{x_{0}}^{2}} \frac{1}{1 - (\frac{x}{x_{0}})^{2}} = \frac{1}{{x_{0}}^{2}} (1 + \frac{x}{x_{0}})

由上述知，最低阶的潮汐力与受力体中心的距离成正比，与摄动天体距离的立方成反比 。天体+x部分受到的潮汐力指向+x方向，-x部分受到的潮汐力指向一 x方向。

潮汐隆起

由于潮汐力的作用，x轴以外物质沿x轴方向潮汐拉伸。如果天体是可变形的，它会在x方向上拉长。月球和地球相互之间的引力会导致潮汐隆起，沿着两个天体中心连线上升。近侧的凸起是受另一个天体引力较大的直接结果，而远侧凸起则是由于远侧所受引力小于自身中心所受引力所致。天体不同位置的离心加速度差也对潮汐隆起的大小有影响。

月球的自转和绕地球的公转同步，因此月球总是以同一面面向地球，并总在那个方向上拉长，这种现象称为潮汐锁定 。然而，地球的自转速度远远快于地月轨道周期。因此，地球指向月球的部分总在变化，并被潮汐力拉伸。与地球的固体部分相比，水更容易对这些变化的力做出反应，从而导致在海岸线看到的水位潮汐变化。由于地球自转和月球轨道运动的综合影响，月球大约每25小时经过一次地球给定的位置,因此每天几乎有两个潮汐周期，我们看到的潮汐主要是半日潮。太阳也会在地球上引发半日潮，周期为12小时，幅度略低于月球潮汐的一半。当月球、地球和太阳大致一线时，潮汐的幅度达到最大值，这种情况每个月会出现两次，即月相为新月或满月时。当月球接近近地点和地球接近近日点时(后者发生在1月初),潮汐也会更大。

潮汐影响天体结构

强烈的潮汐能显著地影响天体的物理结构。一般来说，行星对距离自身最近的卫星所施加的潮汐力，是太阳系天体感受到的最强潮汐力(除了小行星和彗星掠日或掠行星的情况以外)。在行星附近，潮汐非常强烈，它们可以撕裂一个流体(或聚集力弱的固体)天体。在这样一个区域，大卫星是不稳定的，即使是小卫星可以通过物质强度和摩擦结合在一起，也因潮汐而无法增长。这个区域的边界称为洛希极限 。在洛希极限的内部，固体物质仍然以小天体的形式存在，我们看到的是环而不是大卫星。

2.潮汐力矩

潮汐耗散导致卫星和行星旋转速率和轨道的长期变化。虽然在没有外部力矩的情况下，一对相互旋转天体的总角动量守恒，但角动量可以通过潮汐力矩在旋转和轨道运动之间传递。刚体旋转角动量由下式给出：

L = I ω_{rot}

式中， $I$ 是天体的惯性张量， $rot$ 是天体的旋转角速度。旋转的动能为

E_{rot} = \frac{1}{2} ω_{rot}^{T} I ω_{rot} = \frac{1}{2} ω_{rot}^{T} L

惯性张量的各分量为

3.潮汐锁定

前导半球(leading hemisphere) 和后随半球(trailing hemisphere) ,被潮汐锁定的星球始终有一面面对它所围绕旋转的大星球，一面背对它所围绕旋转的大星球；因此也始终有一个面面对它自身轨道运动的方向，一个面背对它自身轨道运动的方向。面对它自身轨道运动方向的称为前导半球，背对自身轨道运动方向的称为后随半球

4.潮汐加热

潮汐力矩除了传递角动量,还可以传递能量。能量传输率是角动量传输率的n倍。从式(2-19)和式(2-23)的导数与a的比值可以看出，对于一条扩大的圆轨道，其机械能变化与轨道角动量变化之比由dE/dL=n给出。因此，由行星潮汐隆起产生的力矩不会(直接)改变卫星轨道的偏心率。

潮汐力随时间的变化可以导致行星体内部加热。从卫星上看，当行星在天空中移动时，具有非同步旋转的卫星潮汐隆起位置会发生变化。在偏心轨道上同步旋转的卫星经受两类潮汐力变化。潮汐隆起的幅度随卫星与行星的距离而变化，隆起的方向也因卫星以恒定速率(大小等于其平均轨道角速度)自转而变化，而瞬时轨道角速度则根据开普勒第二定律而变化。由于天体不是完全刚性的，潮汐力的变化改变了卫星的形状；由于天体也不是完全的流体，所以卫星在形状变化时会以热量的形式耗散能量。因此，在偏心轨道上或与其轨道周期不同步旋转的天体上，潮汐变化引起的内应力会导致某些天体产生显著的潮汐加热，尤其是在木卫一上。如果没有其他力存在，由木星在木卫一上引起的潮汐变化导致的耗散将使木卫一轨道偏心率减小。木卫一的轨道将会接近圆形，即给定角动量的最低能量状态(最小半长轴),耗散的轨道能量被转换成热能。由于木卫一的轨道周期小于木星的自转周期，因此木卫一在木星上引起的潮汐隆起将木星的一些自转动能转移到木卫一的轨道上，导致木卫一向外螺旋远离木星。如上所述，这些力矩并不直接影响木卫一轨道的偏心率。然而，木卫一和木卫二之间存在2:1的平均运动共振锁定。木卫一将它从木星得到的一些轨道能量和角动量传递给木卫二，并且由于木卫一的轨道周期小于木卫二的轨道周期，这种传递增加了木卫一的偏心率(习题2.29)。这种强迫偏心保持了较高的潮汐耗散率，因此木卫一有较大的内部加热，这种加热表现为活跃的火山作用。

二体问题

月球的轨道及其演化

1.地-月二体框架下的月球轨道（开普勒轨道）

对一个只有2个行星（卫星）的系统，它们的相对运动轨迹只用牛顿引力和初始相对运动就可以描述。

f = - \frac{G M m}{r^{3}} r .

在二体问题框架下，月球轨道满足：

角动量守恒：
$h = r \times v = 常矢量$
分解为极坐标形式：
$h = r^{2} \dot{θ}$
运动方程分解：
- 速度 $v$ 和加速度 $a$ :（注意 $\vec{r} = r (t) \vec{e_{r}}, \vec{θ} = θ (t) \vec{e_{θ}}$ ）
$\begin{aligned} v & = \frac{d r}{d t} = \dot{r} e_{r} + r {\dot{e}}_{r} \\ = \dot{r} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ} . \\ a & = \frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = \ddot{r} e_{r} + \dot{r} {\dot{e}}_{r} + (\dot{r} \dot{θ} + r \ddot{θ}) e_{θ} + r \dot{θ} {\dot{e}}_{θ} . \\ = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) e_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) e_{θ} = - \frac{G M}{r^{2}} e_{r} . \end{aligned}$
- 径向分量：
$\begin{matrix} (1) & \ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2} = - \frac{G M}{r^{2}} \end{matrix}$
- 横向分量： $\begin{matrix} (2) & \frac{1}{r} \frac{d}{d t} (r^{2} \dot{θ}) = 0 \end{matrix}$
开普勒定律：
- 第一定律（椭圆轨道）：微分方程（1）有一个通解，即
$r (θ) = \frac{r_{c}}{1 + e \cos θ}$
其中半通径 $r_{c} = \frac{h^{2}}{G M} = a (1 - e^{2})$ (有时 $r_{c}$ 记作 $p$ ) , $e$ 是离心率。
如果考虑椭圆轨道的朝向，则
$r (θ) = \frac{r_{c}}{1 + e \cos (θ - ω)}$
其中 $ω$ 为近地点幅角 , 当 $θ = ω$ 时，卫星处于近地点。可以将 $θ - ω$ 记作真近点角 $ν$ (从近地点起算的角度。
如果想更好地描述椭圆轨道，可以引入更多的参量，参考轨道六根数
- 第二定律（面积定律）：
$\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} r^{2} \dot{θ} = \frac{h}{2} = 常量$
因为 $h = r^{2} \dot{θ} = 0$ ，所以 $h$ 是常数
- 第三定律：
$\begin{aligned} T = & \frac{A}{d A / d t} = \frac{π a b}{h / 2} = \frac{2 π a^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{h} = \frac{2 π a^{3 / 2} r_{c}^{1 / 2}}{h} \end{aligned}$
代入后化简得：
$T^{2} = \frac{4 π^{2}}{G (M + m)} a^{3}$

2. 在一个轨道周期内的潮汐耗散

2.1能量耗散率：

\dot{E} = \frac{1}{2} \int_{V} σ_{i j} {\dot{ϵ}}_{i j} d V

其中 $σ$ 为应力张量， $ϵ$ 为应变张量

在连续介质力学中，应力张量 $σ_{i j}$ 和应变率张量 ${\dot{ϵ}}_{i j}$ 之间的关系可以用本构关系来描述。对于牛顿流体，这种关系为

\frac{σ}{η} = \frac{d U}{d y} = \dot{ϵ}

其中， $η$ 是动力粘度。

2.2相位延迟模型：在实际材料中，由于材料的粘滞性质,材料在受到应力作用后，应变响应并不是瞬时的，而是存在相位差。对于潮汐变形，天体内部的材料（如岩石、冰等）在受到周期性潮汐力作用时，其应变响应会滞后于应力作用。这种滞后现象可以用相位延迟模型来描述。该模型在潮汐耗散研究中非常重要，因为它能够定量描述天体内部材料的耗散性质。

使用复数形式来表示应力和应变的关系，可以方便地引入相位延迟。复数形式的应力-应变关系可以写成:

σ = μ ϵ e^{i δ}, δ = \arctan (1 / Q)

其中， $μ$ 是材料的剪切模量； $δ$ 是相位延迟角； $Q$ 是潮汐耗散系数， $δ = a r c t a n (1 / Q)$ 。

假设应变 $ϵ$ 随时间变化为简谐形式：

ϵ (t) = ϵ_{0} e^{i ω t}

根据相位延迟模型，应力 $σ$ 可以表示为：

σ (t) = μ ϵ_{0} e^{i ω t + δ}

将应力和应变代入能量耗散率公式，并计算在一个周期 $T$ 内，能量耗散 $Δ E$ 为:

\begin{aligned} Δ E & = \int_{0}^{T} ​ σ {\dot{ϵ}}^{*} d t \\ = \int_{0}^{T} ​ μ ϵ_{0} e^{i (ω t + δ)} \cdot i ω ϵ_{0}^{*} e^{- i ω t} d t \\ = \frac{π}{2} ​ μ ϵ_{0}^{2} ω Q^{- 1} \end{aligned}

将潮汐参数 $k 2$ 、行星半径 $R$ 、轨道半长轴 $a$ 、中心天体质量 $M'$ 等代入，得到单周期能量耗散：

Δ E = \frac{21}{2} \frac{k_{2} R^{5}}{Q} {(\frac{G M^{'}}{a^{3}})}^{2}

2.3潮汐耗散系数：潮汐耗散系数 $Q$ 是衡量潮汐能量耗散效率的参数。 $Q^{- 1}$ 表示每单位能量的耗散比例，指示潮汐能量在每个周期内的耗散比例，反映了天体材料的粘滞性质和潮汐耗散效率

Q^{- 1} = \frac{1}{2 π E_{tide}} \oint \dot{E} d t

3.月球几何天平动和物理天平动(libration)

3.1经度天平动：

Δ λ \approx \pm 6^{\circ} （由轨道偏心率引起） $ $ * * 3.2 纬 度 天 平 动 * * ： $ $ Δ β \approx \pm 7^{\circ} （由轨道倾角引起）

3.3物理天平动：

\ddot{θ} + \frac{3 G M}{r^{3}} \frac{(C - A)}{C} θ = 0

其中 $C$ 为极转动惯量， $A$ 为赤道转动惯量

3.4章动方程：

\frac{d L}{d t} = Γ_{tide} + Γ_{spin}

4. 月球的长期轨道—长期扰动理论（secular perturbation）

当研究长时间尺度(secular)两个行星（卫星）之间的相对运动时，两个行星间的变形能带来动能耗散，改变角动量；而且来自别的星体产生的小量的引力扰动可以产生巨大的改变。相应的控制方程的一般形式要修改为：

\frac{d^{2} r}{d t^{2}} = - \frac{G M}{r^{3}} r . \to \ddot{r} + G M \frac{r}{r^{3}} = \nabla R,

其中 $R$ 是来自于从二体以外来的扰动势，进行梯度运算后就是力(加速度)。

拉格朗日行星方程：
$\begin{aligned} \frac{d a}{d t} & = \frac{2}{n \sqrt{1 - e^{2}}} (R_{e} \sin f + R_{h} \frac{1 + e \cos f}{e}) \\ \frac{d e}{d t} & = \frac{\sqrt{1 - e^{2}}}{n a} [R_{e} \sin f + R_{h} (\cos f + \frac{e + \cos f}{1 + e \cos f})] \end{aligned}$
其中 $R_{e}$ 和 $R_{h}$ 为扰动加速度分量
轨道参数演化：
- 半长轴变化： $\frac{d a}{d t} = - \frac{21}{2} k_{2} \frac{G M^{' 2} R^{5}}{Q a^{11 / 2}}$
- 偏心率演化： $\frac{d e}{d t} = \frac{57}{8} k_{2} \frac{G M^{' 2} R^{5}}{Q a^{13 / 2}} e$
共振效应：当满足条件：
$\frac{n^{'}}{n} = \frac{p}{q} (p, q \in Z)$
会导致轨道参数的剧烈变化（如evection共振）
长期演化方程：
$\frac{d ω}{d t} = \frac{3 n}{4 (1 - e^{2})^{2}} [\frac{J_{2} R^{2}}{a^{2}} + \frac{5}{2} \frac{M^{'}}{M} {(\frac{a}{a^{'}})}^{3}]$