行星地磁场

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地磁的现代认知

一、地磁特性

基础理论 1600 年，威廉・吉尔伯特提出 “地球是一个大磁体”，地磁场是空间中随时间变化的矢量场，在地球表面任意点可通过局部三维坐标系定量描述。

矢量属性 地磁场为矢量场，其空间分布需同时描述方向与大小，数学上满足矢量叠加原理，可分解为正交分量进行分析。

二、地磁的数学描述方法

笛卡尔坐标系（直角坐标系） 以观测点为原点，定义：

X 分量：指向地理北（North），水平向北为正；
Y 分量：指向地理东（East），水平向东为正；
Z 分量：指向垂直向下（Vertical Down），垂直向下为正。三分量满足勾股定理： $(F = \sqrt{X^{2} + Y^{2} + Z^{2}})$ 其中 F 为地磁场总强度。

地磁极坐标系（球极坐标系） 以观测点为原点，定义：

总强度 F：地磁场矢量的模长，单位为特斯拉（T）或纳特（nT）， $(1 T = 10^{9} nT)$ ;
磁偏角 D：地磁场水平分量与地理北的夹角（向东偏为正，范围 $[- 180^{\circ}, 180^{\circ}]$ ）；
磁倾角 I：地磁场矢量与水平面的夹角（向下为正，范围 $[- 90^{\circ}, 90^{\circ}]$ ）。

笛卡尔分量与球极坐标分量的转换关系为：

${\begin{cases} X = F \cos I \cos D \\ Y = F \cos I \sin D \\ Z = F \sin I \end{cases}$

磁偏角与磁倾角的计算公式为： $D = \arctan (\frac{Y}{X}), I = \arctan (\frac{Z}{\sqrt{X^{2} + Y^{2}}})$

三、地磁强度的定量特征

全局强度分布

平均值：地磁场整体强度较弱，平均约为 (10^{-5}\ \text{T})（即 (10^4\ \text{nT})）；
极值区域：
- 磁北极与磁南极附近强度最大，约 $6 \times 10^{4} nT$ ；
- 赤道附近强度最小，约 $2 \sim 3 \times 10^{4} nT$ 。

常见场景

磁屏蔽实验室：内部地磁场经屏蔽后大多 $< 50 nT$ ，局部测量区域可低至几 $n T$ ；
现代测量仪器：磁通门、质子旋进等磁强计灵敏度可达 $1 nT$ ；
海洋磁异常：海底岩石剩磁引发的局部异常场可达数百 $n T$ （如 $200 \sim 500 nT$ ）。

地磁场的定量分解

拉普拉斯方程是地磁场位势理论的基础，通过求解该方程可描述地磁场的空间分布。 引入球极坐标 $(r, θ, φ)$ ，其中 $r$ 为半径， $θ$ 为余纬度， $φ$ 为经度（或球上的方位角）。对于指向中心点的自然力，其场的势 V 满足拉普拉斯方程： $\nabla^{2} V = \nabla \cdot \nabla V = 0$ 分别给出笛卡尔坐标与球极坐标下的拉普拉斯算子表达式：

笛卡尔坐标： $\nabla^{2} = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$
球极坐标： $\nabla^{2} T = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial T}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} T}{\partial φ^{2}}$

拉普拉斯方程的解可通过球谐函数展开分解为内部场（源于地核）与外部场（源于电离层、太阳风等） 使用变量分离法，设 $V (r, θ, φ) = R (r) P (θ) F (φ)$ ，代入拉普拉斯方程后，将偏微分方程分解为三个常微分方程：

关于 r 的方程： $\frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d R (r)}{d r}) = B R (r)$
关于 $φ$ 的方程： $\frac{1}{F (φ)} \frac{d^{2} F (φ)}{d φ^{2}} = - m^{2}$ ; 解为 $F (φ) = e^{i m φ}$ （m 为整数）。
关于 $θ$ 的方程： $\frac{1}{\sin θ} \frac{d}{d θ} (\sin θ \frac{d P (θ)}{d θ}) - \frac{m^{2}}{\sin^{2} θ} P (θ) - B P (θ) = 0$

最终得到势函数的形式： $V (r, θ, φ) = c_{m n} P_{n}^{m} (\cos θ) e^{i m φ} R_{n} (r)$ 其中 $P_{n}^{m} (\cos θ)$ 为连带勒让德函数， $c_{m n}$ 为常数

高斯表明，拉普拉斯方程的解与地球表面磁场可由势函数推导：

$U_{G} = \sum_{n = 0}^{\infty} (A_{n} r^{n} + \frac{B_{n}}{r^{n + 1}}) \sum_{m = 0}^{n} Y_{n}^{m} (θ, φ)$

其中球谐函数 $Y_{n}^{m} (θ, φ) = c_{m n} P_{n}^{m} (\cos θ) e^{i m φ}$

球谐函数性质：

当 $θ$ 和 $φ$ 增加 $2 π$ 的整数倍时，函数值不变，故称为球谐函数。
描述球面上势的变化，广泛用于地球物理（如重力势、地磁场势、大地水准面高度、全球热流等）。

地磁场分离：

势函数中， $A_{n} r^{n}$ 表示外部场贡献， $\frac{B_{n}}{r^{n + 1}}$ 表示内部场贡献。
地磁场分量是磁势的方向导数，且 $A_{n} ≪ B_{n}$ （内部场占主导）

地磁场的多极子场线几何

上图展示轴向截面的场线几何形状

(a) 偶极子场（ $n = 1$ ）：地磁场的主要成分，类似条形磁铁的磁场。
(b) 四极子场（ $n = 2$ ）：比偶极子更复杂的场结构。
(c) 八极子场（ $n = 3$ ）：更高阶的场结构。下方图示为 $n = 1, 2, 3$ 的带谐函数（zonal harmonics），表示不同阶次球谐函数在球面上分布特征。

通过不同阶次的多极子场（偶极子、四极子、八极子等）叠加，可更精确地描述地磁场的复杂结构。高阶项（ $n \geq 2$ ）表示地磁场的非偶极子部分，反映地球内部电流分布或磁性结构的复杂性。

四、IGRF简介

地磁偶极子场

一、偶极子的磁势

位于地球中心、磁矩为 $m$ 的偶极子，在位置 $r$ 处产生的磁势为：

V (r) = \frac{1}{4 π r^{3}} m \cdot r

在球极坐标 $(r, θ, ϕ)$ 中，若 $m$ 沿 $- z$ 方向，则

m \cdot r = - m r \cos θ

代入得：

V (r) = - \frac{m r \cos θ}{4 π r^{3}} = - \frac{m \cos θ}{4 π r^{2}}

二、偶极子的磁场

磁场 $B (r)$ 与磁势 $V (r)$ 的关系为：

B (r) = - μ_{0} \nabla V (r)

在球极坐标下，梯度 $\nabla V$ 表示为：

B (r, θ, ϕ) = - μ_{0} [\frac{\partial V}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} \hat{θ} + \frac{1}{r \sin θ} \frac{\partial V}{\partial ϕ} \hat{ϕ}]

代入 $V (r) = - \frac{m \cos θ}{4 π r^{2}}$ 可以计算得各个分量

三、磁场分量的推导

径向分量 $B_{r}$ ：
$B_{r} (r, θ, ϕ) = - μ_{0} \frac{\partial V}{\partial r} = - μ_{0} \frac{\partial}{\partial r} (- \frac{m \cos θ}{4 π r^{2}}) = \frac{μ_{0} m \cos θ}{4 π} \cdot \frac{2}{r^{3}} = \frac{2 μ_{0} m \cos θ}{4 π r^{3}}$
经向分量 $B_{θ}$ ：
$B_{θ} (r, θ, ϕ) = - μ_{0} \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} = - μ_{0} \frac{1}{r} \cdot \frac{m \sin θ}{4 π r^{2}} = - \frac{μ_{0} m \sin θ}{4 π r^{3}}$
纬向分量 $B_{ϕ}$ ：
由于 V 与 $ϕ$ 无关， $\frac{\partial V}{\partial ϕ} = 0$ ，故 $B_{ϕ} = 0$ 。
总场强 B：
$B (r, θ, ϕ) = \sqrt{B_{r}^{2} + B_{θ}^{2} + B_{ϕ}^{2}} = \frac{μ_{0} m}{4 π r^{3}} \sqrt{1 + 3 \cos^{2} θ}$

四、地心轴向偶极子场(GAD,The geocentric axial dipole field)

在地球表面 (r = R)，径向和切向分量为：

{\begin{cases} B_{r} = - \frac{2 μ_{0} m \cos θ}{4 π R^{3}} \\ B_{θ} = - \frac{μ_{0} m \sin θ}{4 π R^{3}} \\ B_{ϕ} = 0 \end{cases}

磁倾角 I：定义 $\tan I = \frac{Z}{H}$ 其中 $Z = - B_{r}$ （向下为正）， $H = | B_{θ} |$ 。

代入 $B_{r}$ 和 $B_{θ}$ 的表达式：

\tan I = \frac{\frac{2 μ_{0} m \cos θ}{4 π R^{3}}}{\frac{μ_{0} m \sin θ}{4 π R^{3}}} = \frac{2 \cos θ}{\sin θ} = 2 \cot θ

因纬度 $λ = 90^{\circ} - θ$ ， $\cot θ = \tan λ$ ，故 $\tan I = 2 \tan λ$ 。

地磁偶极子场的分布

垂直分量 $H_{v} = \frac{2 M \sin λ}{r_{e}^{3}}$
总水平分量 $H = \frac{M}{r_{e}^{3}} \sqrt{1 + 3 \sin^{2} λ}$

地磁偶极子场的分布 (1)轴向对称，与经度无关；(2)极地磁场强度是赤道的两倍；(3)磁倾角随纬度变化，赤道 I=0∘，极地 I=90∘（垂直）。

相互作用：地磁场起源于地核中导电的 $Fe-Ni$ 合金与地磁场的相互作用，需初始磁场。
地球自转影响：地球自转引导流体运动方式，使其沿自旋轴排列。
磁场再生与形态：流体运动再生磁场，泄漏使场保持简单形状（如偶极子）；非偶极子成分（如核 - 幔边界附近的涡流）也存在。
能量与损耗：因电导率有限，磁场有损失，能量通过欧姆耗散损失。能源主要是地球核心逐渐冷却、外核冻结和内核生长。

3. Geodynamo of Earth and extraterrestrial bodies（地球与地外天体的地球发电机）

驱动机制：

热驱动（图 a）：流体运动由热对流驱动。
成分驱动（图 b）：地球缓慢冷却，核心固化，较轻元素上升，由密度梯度产生的浮力驱动流体运动。这些机制是地核中维持发电机效应的动力来源。

4. The geodynamo simulation（地球发电机模拟）

磁流体动力学方程：

\frac{\partial B}{\partial t} = \frac{1}{μ_{0} σ} \nabla^{2} B + \nabla \times (v \times B)

左边项： $\frac{\partial B}{\partial t}$ 表示核心中磁通量的变化率。
右边第一项（扩散项）： $\frac{1}{μ_{0} σ} \nabla^{2} B$ ，描述磁场的空间梯度和衰减，与电导率 $σ$ 成反比（电导率越高，扩散越慢）。
右边第二项（发电机项）： $\nabla \times (v \times B)$ ，依赖洛伦兹力（由核心流体运动速度场 $v$ 和磁场 $B$ 相互作用产生），是驱动磁场再生的关键项。

此方程通过数学形式描述了地核中磁场随时间的演化，结合了扩散和动态再生过程。

5. Modelled weak dipole moment during geomagnetic reversal（地磁反转期间模拟的弱偶极矩）

Modelled weak dipole moment during geomagnetic reversal,Glatzmaier & Roberts Nature 1995.

展示了地磁反转过程中偶极矩减弱及极性转变的模拟结果，反映了地磁场在长时间尺度上的复杂变化，这种反转是地球发电机过程的一种极端表现，涉及地核内流体运动和磁场相互作用的剧烈调整。

6. The magnetic field of external origin（外源磁场）

范艾伦辐射带（Van Allen radiation belt）是一个高能带电粒子的区域，其中大部分粒子来自太阳风，被行星的磁层捕获并环绕在该行星周围。地球有两层这样的环带，有时可能建立临时环带。

太阳风：太阳风是带电粒子流（电子、质子、氦核），属于等离子体（由几乎等量的正负离子组成的低粒子密度电离气体）。
相互作用：太阳风与地球上层大气碰撞，形成激波（类似超音速飞机前的激波）。太阳风产生行星际磁场，白天加强并压缩地磁场，夜晚减弱并拉伸地磁场，塑造了地球磁层的形态（如磁鞘、磁层顶等结构）。

7. Daily variation and magnetic storms（日变化与磁暴）

外源磁场来源：电离层中电离分子释放大量电子，形成强大的水平环形电流。白天地球向阳面电离强烈。
太阳活动影响：太阳活动通过加热和引力作用，引起电离层大气潮汐。
变化幅度：地磁场日变化范围约 $10 - 30 nT$ ，磁暴时磁场变化可达 $1000 nT$ 。这些变化反映了外部因素（如太阳活动）对地磁场的动态影响，是空间天气对地磁环境作用的体现。