卫星椭圆轨道六根数

什么是轨道六根数

从平面极坐标方程到三维空间坐标系

1. 轨道平面内的极坐标方程

在轨道平面内（二维），位置由 真近点角 (\nu) 和半径 (r) 描述，方程为： [ r(\nu) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos\nu} ] 其中： • (a) 为半长轴 • (e) 为离心率 • (\nu) 为真近点角（从近地点起算的角度）

2. 三维空间坐标系转换

为了将轨道平面映射到参考坐标系（如赤道坐标系），需通过三次旋转定义轨道方向：

1. 绕参考坐标系 (z)-轴旋转 (\Omega)（升交点赤经）
2. 绕新 (x)-轴旋转 (i)（轨道倾角）
3. 绕新 (z)-轴旋转 (\omega)（近地点幅角）

最终位置矢量在参考坐标系中的表达式为： [ \mathbf{r} = \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = R_z(\Omega) \cdot R_x(i) \cdot R_z(\omega) \cdot \begin{bmatrix} r\cos\nu \ r\sin\nu \ 0 \end{bmatrix} ]

3. 展开旋转矩阵

通过展开旋转矩阵，位置矢量可写为： [ \mathbf{r} = r \cdot \begin{bmatrix} \cos\Omega \cos(\omega+\nu) - \sin\Omega \sin(\omega+\nu)\cos i \ \sin\Omega \cos(\omega+\nu) + \cos\Omega \sin(\omega+\nu)\cos i \ \sin(\omega+\nu)\sin i \end{bmatrix} ]

4. 三维轨道方程的参数化形式

结合轨道平面方程 (r(\nu))，三维轨道方程为： [ \boxed{ \mathbf{r}(\nu) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos\nu} \cdot \begin{bmatrix} \cos\Omega \cos(\omega+\nu) - \sin\Omega \sin(\omega+\nu)\cos i \ \sin\Omega \cos(\omega+\nu) + \cos\Omega \sin(\omega+\nu)\cos i \ \sin(\omega+\nu)\sin i \end{bmatrix} } ]

5. 球坐标系中的显式表达

若需用球坐标 ((r, \alpha, \delta)) 表示（(r) 为距离，(\alpha) 为赤经，(\delta) 为赤纬）：

1. 赤经 (\alpha)： [ \alpha = \Omega + \arctan\left[\frac{\sin(\omega+\nu)\cos i}{\cos(\omega+\nu)}\right] ]
2. 赤纬 (\delta)： [ \delta = \arcsin\left[\sin(\omega+\nu)\sin i\right] ]
3. 半径 (r)： [ r(\nu) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos\nu} ]

6. 关键参数的作用

7. 示例：地球同步卫星轨道

对地球同步轨道（(i=0^{\circ)，(\omega=0}\circ)，(\Omega) 固定）： [ \mathbf{r}(\nu) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos\nu} \cdot \begin{bmatrix} \cos(\Omega + \nu) \ \sin(\Omega + \nu) \ 0 \end{bmatrix} ] 此时轨道完全在赤道平面内，赤经 (\alpha = \Omega + \nu)，赤纬 (\delta = 0^\circ)。

总结

• 三维轨道方程需通过旋转矩阵将轨道平面映射到参考坐标系。 • 轨道倾角 (i) 和升交点赤经 (\Omega) 共同定义了轨道平面的空间方向。 • 最终方程形式为参数化矢量方程，依赖六个轨道根数：(a, e, i, \Omega, \omega, \nu)。